题目内容

(2006•西城区一模)对于一切实数x,令[x]为不大于x的最大整数,则函数f(x)=[x]称为高斯函数或取整函数.计算f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=
1
1
;若an=f(
n
3
),n∈N*Sn
为数列{an}的前n项和,则S3n=
1
2
(3n2-n)
1
2
(3n2-n)
分析:先根据所给的新定义推导数列的几项,从这几项中看出数列的项的特点,找出规律,得到最终结果为S3n=3[0+1+2++(n-1)]+n,化简即可.
解答:解:∵[x]为不大于x的最大整数,f(x)=[x]
∴f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=-1+1+1=1
:∵f(x)=[x]为高斯实数或取实数,若an=f(
n
3
),n∈N*

a1=f(
1
3
)=[
1
3
]=0

a2=f(
2
3
)=[
2
3
]=0

a3=f(
3
3
)=[
3
3
]=1

a4=f(
4
3
)=[
4
3
]=1

a5=f(
5
3
)=[
5
3
]=1

a6=f(
6
3
)=[
6
3
]=2

a7=f(
7
3
)=[
7
3
]=2


a3n=f(
3n
3
)=[
3n
3
]=n

∴S3n=3[0+1+2+…+(n-1)]+n=
1
2
(3n2-n)
(n∈N*).
故答案为:1,
1
2
(3n2-n)
点评:本题主要考查数列与函数的综合运用,主要涉及了数列的推导与归纳,同时,又是新定义题,应熟悉定义,将问题转化为已知去解决,属于基础题.
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