题目内容
【题目】已知抛物线P:的焦点为F,经过点
作直线与抛物线P相交于A,B两点,设
,
.
(1)求的值;
(2)是否存在常数a,当点M在抛物线P上运动时,直线都与以MF为直径的圆相切?若存在,求出所有a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,0.
【解析】
(1)设出直线方程,联立直线与抛物线方程,由韦达定理即可得出结论;
(2)设点,求出以MF为直径的圆的圆心与半径,根据直线与圆相切得圆心到切线的距离等于半径得
对
恒成立,从而求出a的值.
(1)法一:依题意过点的直线可设为
,
由,得
,
设,
,则
,
∴;
(2)存在.
∵F是抛物线P的焦点,∴.
设,则MF的中点为
,
.
∵直线与以MF为直径的圆相切的充要条件是
到直线
的距离等于
,即
,
∴.
∵对于抛物线P上的任意一点M,直线都与以MF为直径的圆相切,
∴关于x的方程对任意的
都要成立.
∴解得
.
∴存在常数a,并且仅有满足“当点M在抛物线P上运动时,直线
都与以MF为直径的圆相切”.