题目内容
【题目】已知函数,
(1)若曲线与曲线
在它们的公共点处且有公共切线,求
的值;
(2)若存在实数使不等式
的解集为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)或
;(2)
【解析】
(1)分别对两个函数求导,设交点坐标为,代入两个导数中令其相等即可求解m;
(2)设,求导研究函数
的极值,得到极小值
,极大值
,则存在实数
使不等式
的解集为
的必要条件为:
或
,后面再证明充分性即可得到
的取值范围.
(1),
,
,
,
设交点坐标为,所以
,解得
或
,
当时,
且
,所以
,
当,
,所以
,所以
;
(2),
,令
,得
或3,
1 | 3 | ||||
- | 0 | + | 0 | - | |
单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
极小值,极大值
,若存在实数
使不等式
的解集为
的必要条件为:
或
,解得
或
,
当时,
,令
,则
,所以在
存在唯一的零点
使得
的解集为
,满足题意.
当时,
,
当时,
,所以
,所以在
存在唯一的零点
使得
的解集为
,满足题意.
综上所述,存在实数使不等式
的解集为
的
取值范围为
.
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