Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow{OP}$=（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），$\overrightarrow{O{P}_{1}}$=（m，$\frac{{S}_{m}}{m}$），$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=（k，$\frac{{S}_{k}}{k}$），且$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+μ$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，已知m，n，k∈N^*且互不相等，则用m，n，k表示μ=（　　）

• A． μ=$\frac{k-n}{k-m}$
• B． μ=$\frac{n-m}{n-k}$
• C． μ=$\frac{n-m}{k-m}$
• D． μ=$\frac{k-m}{k-n}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+μ$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，可得n=λm+μk，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{λ{S}_{m}}{m}$+$\frac{μ{S}_{k}}{k}$，化为：μ=$\frac{n（\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}）}{k（\frac{{S}_{k}}{{k}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}）}$，利用等差数列的前n项和公式可得：$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}$=$\frac{（m-n）（2{a}_{1}-d）}{2mn}$，$\frac{{S}_{k}}{{k}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}$=$\frac{（m-k）（2{a}_{1}-d）}{2mk}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+μ$\overrightarrow{O{P}_{2}}$，
∴n=λm+μk，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{λ{S}_{m}}{m}$+$\frac{μ{S}_{k}}{k}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}=\frac{{S}_{m}}{m}×\frac{n-μk}{m}$+$\frac{μ{S}_{k}}{k}$，
化为：μ=$\frac{n（\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}）}{k（\frac{{S}_{k}}{{k}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}）}$，
∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
∴$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{m{a}_{1}+\frac{m（m-1）d}{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{（m-n）（2{a}_{1}-d）}{2mn}$，
同理可得：$\frac{{S}_{k}}{{k}^{2}}-\frac{{S}_{m}}{{m}^{2}}$=$\frac{（m-k）（2{a}_{1}-d）}{2mk}$，
∴μ=$\frac{m-n}{m-k}$=$\frac{n-m}{k-m}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、向量的线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．