Question

12．（理科）如图，A，B，C，D在y=$\frac{1}{4}$x²上，A、D关于抛物线对称轴对称，过点D（x₀，y₀）作抛物线切线，可证切线斜率为$\frac{1}{2}$x₀，BC∥切线，点D到AB，AC距离分别为d₁，d₂，d₁+d₂=$\sqrt{2}$|AD|
①试问：△ABC是锐角，钝角还是直角三角形？请说明判断的理由．
②若△ABC的面积为240，求A点的坐标和BC直线的方程．

Answer 1

分析 ①利用导数的几何意义即可得出直线BC的斜率，进而可得直线AC、AB的斜率之间的关系，即可判断三角形的形状；
②利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程．

解答 解：①由y=$\frac{1}{4}$x²得，y′=$\frac{1}{2}$x．设D（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），
由导数的几何意义知BC的斜率k_BC=$\frac{1}{2}$x₀，

由题意知A（-x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），设C（x₁，$\frac{1}{4}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{4}$x₂²），
则k_BC=$\frac{\frac{1}{4}{（x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$x₀，
∴x₂=2x₀-x₁，所以B（2x₀-x₁，$\frac{1}{4}$（2x₀-x₁）²），
k_AC=$\frac{\frac{1}{4}{（x}_{1}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{1}+{x}_{0}}$=$\frac{1}{4}$（x₁-x₀），k_AB=$\frac{\frac{1}{4}{（x}_{2}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{x}_{2}+{x}_{0}}$=$\frac{1}{4}$（x₂-x₀）=$\frac{1}{4}$（x₀-x₁），
所以k_AC=-k_AB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴d₁=d₂，
又由d₁+d₂=$\sqrt{2}$|AD|得：sin∠DAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAC=∠DAB=45°，
故△ABC是直角三角形．
②由①知，不妨设C在AD上方，AB的方程为：y-$\frac{1}{4}$x₀²=-（x+x₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}=-（x+{x}_{0}）\\{y=\frac{1}{4}x}^{2}\end{array}\right.$得到另一个交点B（x₀-4，$\frac{1}{4}$（x₀-4）²）．
由AC方程为：y-$\frac{1}{4}$x₀²=x+x₀，
由$\left\{\begin{array}{l}y-\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}=x+{x}_{0}\\{y=\frac{1}{4}x}^{2}\end{array}\right.$得到另一个交点C（x₀+4，$\frac{1}{4}$（x₀+4）²）．
∴|AB|=$\sqrt{2}$|（x₀-4）-（-x₀）|=$\sqrt{2}$|2x₀-4|，
|AC|=$\sqrt{2}$|（x₀+4）-（-x₀）|=$\sqrt{2}$|2x₀+4|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•2|2x₀-4||2x₀+4|=240，
解得x₀=±8，
∴A（8，16）或（-8，16），
若x₀=8时，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，
若x₀=-8时，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．

点评 熟练掌握导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角的关系、直线与抛物线相交问题、弦长公式即可得出．