题目内容

已知函数f(x)在区间(－∞,＋∞)上是增函数,a和b为实数．

(1)求证：命题“如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”成立．

(2)判断(1)的逆命题是否成立，并说明为什么．

答案：
解析：

(1)a＋b≥0,则a≥－b或b≥－a．

∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a),

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)逆命题为“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),则a＋b≥0”．

反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b或b＜－a，

依题有f(a)＜f(－b),f(b)＜f(－a),∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b),与已知矛盾，

∴假设不成立，a＋b≥0．


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