Question

【题目】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的正三角形，平面⊥平面，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点为，连接，可证为平行四边形，从而得到，据此可证平面.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求线面角的正弦值.

（1）如图，取的中点为，连接.

因为，故.

因为，故.

所以，故四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，所以平面.

（2）连接，则.

在菱形中，因为，故，

在中，由余弦定理可得，故，

所以，故.

因为平面⊥平面，平面平面，平面，

所以平面，因平面，所以.

如图，建立空间直角坐标系，则，

所以，故，.

设平面的法向量为，

则，故，令，则，

所以，又，

所以.

设与平面所成角为，则.