题目内容

已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值.

(1)an=2n.  (2)n的最小值为5. 

解析试题分析:(1)解 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.依题意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,可得a3=8,∴a2+a4=20,所以解之得又∵数列{an}单调递增,所以q=2,a1=2,∴数列{an}的通项公式为an=2n.(2)因为bn=2nlog2n=-n·2n,所以Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n),2Sn=-[1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1],两式相减,得
Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1.要使Sn+n·2n+1>50,即2n+1-2>50,即2n+1≥52.
易知:当n≤4时,2n+1≤25=32<52;当n≥5时,2n+1≥26=64>52.故使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值为5.  
考点:等比数列的通项公式
点评:主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用,属于基础题。

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