题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3﹣3ax(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)的极小值;
(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围;
【答案】解:(1)∵当a=1时,f′(x)=3x2﹣3,令f′(x)=0,得x=﹣1或x=1,当f′(x)<0,即x∈(﹣1,1)时,f(x)为减函数;当f′(x)>0,即x∈(﹣∞,﹣1],或x∈[1,+∞)时,f(x)为增函数.∴f(x)在(﹣1,1)上单调递减,在(﹣∞,﹣1],[1,+∞)上单调递增∴f(x)的极小值是f(1)=﹣2
(2)∵f′(x)=3x2﹣3a≥﹣3a,∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当﹣1<﹣3a时成立,∴
【解析】(1)由f(x)=x3﹣3ax,得f′(x)=3x2﹣3a,当f′(x)>0,f′(x)<0时,分别得到f(x)的单调递增区间、单调递减区间,由此可以得到极小值为f(1)=﹣2.
(2)要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,只需令直线的斜率﹣1小于f(x)的切线的最小值即可,也就是﹣1<﹣3a.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减才能正确解答此题.

【题目】某中学共有5000人,其中男生3500人,女生1500人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关,现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位:小时),其频率分布直方图如下:
附:,其中
.
已知在样本数据中,有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理,我们( )
A. 没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
B. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D. 有的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
【题目】某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班,每班50人,某教师采用、
两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验,为了了解教学效果,期末考试后,该教师分别从两班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如图所示,记成绩不低于90分为“成绩优秀”.
(1)在乙班的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2人,求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率;
(2)由以上统计数据填写列联表;能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关.
甲班( | 乙班( | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
附:.
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.847 | 5.024 |
【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(1)根据表中数据,建立y关于t的线性回归方程;
(2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.