题目内容

【题目】已知函数f(x)=x3﹣3ax(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)的极小值;
(2)若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围;

【答案】解:(1)∵当a=1时,f′(x)=3x2﹣3,令f′(x)=0,得x=﹣1或x=1,当f′(x)<0,即x∈(﹣1,1)时,f(x)为减函数;当f′(x)>0,即x∈(﹣∞,﹣1],或x∈[1,+∞)时,f(x)为增函数.∴f(x)在(﹣1,1)上单调递减,在(﹣∞,﹣1],[1,+∞)上单调递增∴f(x)的极小值是f(1)=﹣2
(2)∵f′(x)=3x2﹣3a≥﹣3a,∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当﹣1<﹣3a时成立,∴
【解析】(1)由f(x)=x3﹣3ax,得f′(x)=3x2﹣3a,当f′(x)>0,f′(x)<0时,分别得到f(x)的单调递增区间、单调递减区间,由此可以得到极小值为f(1)=﹣2.
(2)要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,只需令直线的斜率﹣1小于f(x)的切线的最小值即可,也就是﹣1<﹣3a.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题.

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