题目内容
【题目】已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，
，M是椭圆E上的一个动点，且
的面积的最大值为
.
（1）求椭圆E的标准方程，
（2）若
，
，四边形ABCD内接于椭圆E，
，记直线AD，BC的斜率分别为
，
，求证:
为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，
的面积取得最大值
，求出
，即可得答案；
（2）根据题意可知
，
，因为
，所以可设直线CD的方程为
，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到
的关系，再代入斜率公式可证得
为定值.
（1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，
当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值.
所以
，所以
，
，
故椭圆E的标准方程为.
（2）根据题意可知，，因为，
所以可设直线CD的方程为.
由
，消去y可得
，
所以
，即
.
直线AD的斜率
，
直线BC的斜率
，
所以
，故为定值.
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【题目】某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生的选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了解高一年级
名学生选考科目的意向，随机选取
名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 选考方案确定的有 |
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选考方案待确定的有 |
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女生 | 选考方案确定的有 |
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选考方案待确定的有 |
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（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（2）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的
名学生中随机选出
名，试求在选取的名学生中恰有
名男生的条件下两名学生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（3）从选考方案确定的
名男生中随机选出
名，设随机变量
表示所选人中选考方案完全相同的人数(若有组人选考方案完全相同，则
)，求的分布列及数学期望
.