题目内容
【题目】已知f(x)=ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对x≥0,恒有f(x)≥ax2+1,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)=ex﹣x,
∴f′(x)=ex﹣1,
当x>0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x<0时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减
(2)解:∵对x≥0,恒有f(x)≥ax2+1,
∴ex﹣x﹣ax2﹣1≥0,
令g(x)=ex﹣1﹣x﹣ax2,则x≥0,有g(x)≥0,
∵g(0)=0,∴m>0,使得g(x)在(0,m)上单调递增,
∴在(0,t)上,g'(0)=1﹣2a≥0,解得a .
下面证明:当a 时,x≥0,恒有g(x)≥0.
证明:由(1)得x≥0,有f(x)≥f(0)=0,
∴当x∈[0,+∞)时,ex﹣1≥x,且仅当x=0时,等号成立,
∴当x≥0时,g′(x)=ex﹣1﹣2ax≥x﹣2ax=2x( )≥0,
且仅当x=0时,等号成立,
∴g(x)在[0,+∞)递增,
∴当x∈[0,+∞)时,g(x)≥g(0)=0.
综上,a的取值范围是(﹣∞, ]
【解析】(1)由f′(x)=ex﹣1,利用导数性质能讨论f(x)的单调性.(2)令g(x)=ex﹣1﹣x﹣ax2 , 则x≥0,有g(x)≥0,由g(0)=0,得m>0,使得g(x)在(0,m)上单调递增,由此能求出a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.