题目内容
已知
为空间的一个基底,且
,
,
,
(1)判断
四点是否共面;
(2)能否以
作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量





(1)判断

(2)能否以


(1)四点不共面; (2)
.

本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题,以及判定空间向量的基底的定义的运用。
(1)假设四点共面,则存在实数
使
,
且
,那么可以根据这个结论得到方程组,求解判定不成立。
(2)利用不同面的三个向量可以充当空间的基底,那么我们可以得到,判定
解:(1)假设四点共面,则存在实数
使
,
且
,
即
.…4分
比较对应的系数,得一关于
的方程组
解得
与
矛盾,故四点不共面;……………6分
(2)若向量
,
,
共面,则存在实数
使
,
同(1)可证,这不可能,
因此
可以作为空间的一个基底,
令
,
,
,
由
,
,
联立得到方程组,
从中解得
………………10分所以
(1)假设四点共面,则存在实数


且

(2)利用不同面的三个向量可以充当空间的基底,那么我们可以得到,判定
解:(1)假设四点共面,则存在实数


且

即

比较对应的系数,得一关于


解得

与

(2)若向量





同(1)可证,这不可能,
因此

令



由



从中解得



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