Question

4．已知下表为定义域为R的函数f（x）=ax³+cx+d若干自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．

x	4.25	1.57	-0.61	-0.59	0	0.42	-0.35	0.56	0.26	3.27
y	-226.05	-10.04	0.07	0.03	0	0.20	-0.22	0.03	0.21	-101.63

根据表中数据解答下列问题：
（1）函数y=f（x）在区间[0.55，0.6]上是否存在零点，写出判断并说明理由；
（2）证明：函数y=f（x）在区间[0.41，+∞）单调递减．

Answer 1

分析 （1）根据图表中f（0）=0求得d=0，进而可判断出f（-x）=-f（x）函数为奇函数，结合f（-0.56）＜0可得f（0.56）＞0，同理得f（0.59）＜0，进而可知f（x）在[0.55，0.6]上必有零点；
（2）根据图象的趋势f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.026，f（-0.61）=0.07，可推断出函数f（x）在（-∞，-0.35]上单调递减，根据奇函数在对称区间上单调性相反，可得结论．

解答 解：（1）∵f（0）=0，
∴d=0，
∴f（-x）=-f（x），函数f（x）为奇函数；
又∵f（0.56）=-f（-0.56）=0.03＞0，f（0.59）=-f（-0.59）=-0.03＜0，
∴f（x）在[0.55，0.6]上必有零点结论．
（2）∵f（-0.35）=-0.22，f（-0.56）=-0.03，f（-0.59）=0.03，f（-0.61）=0.07，
∴f（x）在（-∞，-0.35]上单调递减，
根据奇函数在对称区间上单调性相反，
可得函数y=f（x）在区间[0.35，+∞）单调递减．
进而函数y=f（x）在区间[0.41，+∞）单调递减．

点评 本题主要考查了函数零点和单调性，奇偶性的判断．考查了学生分析推理和解决实际问题的能力．