Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若函数g（x）是奇函数，且g（x）=f（x-1），g（3）=2008，则f（2012）=-2008．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），然后结合g（x）=f（x-1），灵活变形后求出函数f（x）的周期，再根据gg（x）=f（x-1），g（3）=2008，得g（3）=f（2）=2008，最后把要求的值转化为-f（2）的值．

解答 解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），
g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（x）=-g（-x），
由g（x）=f（x-1），以x代替x+1，所以f（x）=g（x+1），
又g（x）=-g（-x），所以f（x）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），
则f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．
因为g（x）=f（x-1），g（3）=2008，
所以g（3）=f（2）=2008，
所以f（2012）=f（0）=-f（2）=-2008．
故答案为：-2008．

点评 本题考查了函数的奇偶性和周期性，考查了如何通过替代自变量的值求函数的周期，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．