题目内容
【题目】数列:
,
,
,…,
,…,对于给定的
(
,
),记满足不等式:
(
,
)的
构成的集合为
.
(Ⅰ)若数列,写出集合
;
(Ⅱ)如果(
,
)均为相同的单元素集合,求证:数列
,
,…,
,…为等差数列;
(Ⅲ)如果(
,
)为单元素集合,那么数列
,
,…,
,…还是等差数列吗?如果是等差数列,请给出证明;如果不是等差数列,请给出反例.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)是等差数列,证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意得,,分
和
两类讨论解出不等式,再根据
的定义即可求出;
(Ⅱ)由题意,若中均只有同一个元素,不妨设为
,当
时,由题意可得
,当
时,有
,则
成立,从而得出证明;
(Ⅲ)不妨设,
,
,
,由题意可得
,
,则
,则
;设
,则
,则
,首先证
时的情况,不妨设
,由
,
为单元素集,则
;再证
,由
和
的定义可证
,则
,则存在正整数
使得
,而
,得出矛盾,从而
,同理可证
,由此可得结论.
(Ⅰ)解:由题意得,为满足不等式
的
构成的集合,
∵数列,
∴,即
,
当时,上式可化为
,
当时,上式可化为
,得
,
∴;
(Ⅱ)证:对于数列:
,
,
,…,
,…,
若中均只有同一个元素,不妨设为
,
下面证明数列为等差数列,
当时,有
,①
当时,有
,②
∵①②两式对任意大于1的整数均成立,
∴成立,
∴数列,
,…,
,…为等差数列;
(Ⅲ)解:对于数列:
,
,…,
,…,
不妨设,
,
,
,
由,知
,
由,知:
,即
,
∴,∴
;
设,则
,
这说明,则
,
∵对于数列,
中均只有一个元素,
首先证时的情况,不妨设
,
∵,又
为单元素集,∴
,
再证,证明如下:
由的定义可知:
,
,∴
,
由的定义可知
,
∴,∴
,
∵,∴
,
则存在正整数,使得
,③
∵,
∴,这与③矛盾,
∴,
同理可证,即
,
∴数列,
,…,
,…还是等差数列.
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