题目内容
【题目】已知椭圆过点,设它的左、右焦点分别为、,左顶点为,上顶点为,且满足.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率;
(Ⅱ)过点作不与轴垂直的直线交椭圆于、(异于点)两点,试判断的大小是否为定值,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为,离心率;(Ⅱ)是定值,理由见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据题意建立有关、、的方程组,求出、、的值,进而可求得椭圆的标准方程和离心率;
(Ⅱ)设直线的方程为,设、,将直线的方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,利用平面向量数量积的坐标运算计算出,进而可得出为定值.
(Ⅰ)解:根据题意得,解得,
所以椭圆的方程为,离心率;
(Ⅱ) 因为直线不与轴垂直,所以直线的斜率不为,
设直线的方程为,设、,
联立方程,化简得.
显然点在椭圆的内部,所以.
则,.
又因为,所以,.
所以,
所以,即是定值.
练习册系列答案
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【题目】年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分分).根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在的居民有人.
满意度评分 | ||||
满意度等级 | 不满意 | 基本满意 | 满意 | 非常满意 |
(1)求频率分布直方图中的值及所调查的总人数;
(2)定义满意度指数(满意程度的平均分)/100,若,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整?
(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在、)中用分层抽样的方法抽取名居民,倾听他们的意见,并从人中抽取人担任防疫工作的监督员,求这人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率.