题目内容
【题目】如图,四边形与
均为菱形,
,且
.
(1)求证: 平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据菱形性质得,设
与
相交于点
,由等腰三角形性质得
,再根据线面垂直判定定理得
平面
;(2)先证明
平面
,再建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解出平面法向量。利用向量数量积求出向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系确定直线
与平面
所成角的正弦值.
试题解析:(1)设与
相交于点
,连接
,
∵四边形为菱形,∴
,且
为
中点,
∵,∴
,
又,∴
平面
.
(2)连接,∵四边形
为菱形,且
,∴
为等边三角形,
∵为
中点,∴
,又
,∴
平面
.
∵两两垂直,∴建立空间直角坐标系
,如图所示,
设,∵四边形
为菱形,
,∴
.
∵为等边三角形,∴
.
∴,
∴.
设平面的法向量为
,则
,
取,得
.
设直线与平面
所成角为
,
则.
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