Question

13．不等式ax²+4x+a＜1+x²对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得a＜1-$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$的最小值，由f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，f（0）=0，讨论x＞0，x＜0，运用基本不等式即可得到最值，进而得到a的范围．

解答 解：不等式ax²+4x+a＜1+x²对一切x∈R恒成立，
即为a＜1-$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$的最小值，
由f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，f（0）=0，
当x＞0时，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=2，
当且仅当x=1取得最大值2，
当x＜0时，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$≥-$\frac{4}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=-2，
当且仅当x=-1取得最小值-2，
即有a＜1-2=-1，
故选B．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．