题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3﹣
x2+x,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)当m<0时,试判断函数g(x)=-
其中f′(x)是f(x)的导函数)是否存在零点,并说明理由.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)求出,对
的正负判断,从而确定函数的单调性,即可求得函数的最值。
(Ⅱ)转化成在区间[
,2]恒成立,再参变分离,转化成函数最值问题,利用基本不等式求最值即可。
(Ⅲ)将所求问题化简转化成方程在
内是否有解,利用导数说明函数
的单调性,再由
即可判断原函数不存在零点。
(Ⅰ)当时,
,
,
令得
或
.
当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:
x | |||||
+ | 0 | ||||
f(x) | 单调递增↗ | 极大值 | 单调递减↘ |
∴,
.
(Ⅱ)
∵在
上是单调递增函数,
∴在
上恒成立.
即:.
∵,
∴当且仅当时,
成立.
∴
(Ⅲ)由题意可知,,
要判断是否存在零点,只需判断方程
在
内是否有解,
即要判断方程在
内是否有解.
设,
,
可见,当时,
在
上恒成立.
∴在
上单调递减,在
上单调递减.
∵,
∴在
和
内均无零点。
故函数g(x)=-
无零点
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