题目内容

【题目】如图,已知ABCD为平行四边形,∠A=60°,线段AB上点F满足AF=2FB,AB长为12,点E在CD上,EF∥BC,BD⊥AD,BD与EF相交于N.现将四边形ADEF沿EF折起,使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面BCEF;
(Ⅱ)求折后直线DE与平面BCEF所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明:EF⊥DN,EF⊥BN,

∴EF⊥平面BDN,

∴平面BDN⊥平面BCEF,

又∵BN为平面BDN与平面BCEF的交线,

∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上,

而D在平面BCEF上的射影在BC上,

∴D在平面BCEF上的射影即为点B,

即BD⊥平面BCEF.

(Ⅱ)解:如图,D在平面BCEF上的射影点为点B,

∴∠DEB为DE与平面BCEF所成的角,

DE=AF=8,NF=2,NE=4,NB=2 ,NB⊥NE,

∴BE=2 ,DB= =6,

∴sin∠DEB= =

即直线DE与平面BCEF所成角的正弦值为


【解析】(1)要证BD⊥BCEF,只需要证明D在平面BCEF上的射影即为点B即可;(2)连接BE,由于D在平面BCEF上的射影点为点B,故∠DEB为DE与平面BCEF所成的角,利用几何关系得出正弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想),还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则)的相关知识才是答题的关键.

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