题目内容
如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF=
AD=a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为______．
| 1 |
| 2 |
∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=
a，AB=2a，∴AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG，
∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．
在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．
在Rt△CBG中，BH=
=
a，BG=
a，∴sin∠BGH=
=
．
故答案为：
．
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=
| 2 |
∵BG∩BC=B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．
在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．
在Rt△CBG中，BH=
| BC•BG |
| CG |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
| BH |
| BG |
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
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