Question

设函数f（x）=mx²-mx-1
（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．
（2）若对一切实数m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=0时，f（x）=mx²-mx-1=-1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有

m＜0 m2+4m＜0

，由此能求出m的取值范围．
（2）由f（x）＜-m+5，知（x²-x+1）m-6＜0，由对一切实数m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，知只需2（x²-x+1）-6＜0，解得-1＜x＜2．由此能求出x的取值范围．

解答：解：（1）当m=0时，f（x）=mx²-mx-1=-1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；
当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，
则有

m＜0 m2+4m＜0

，
∴-4＜m＜0，
综上，m的取值范围是（-4，0]．
（2）∵f（x）＜-m+5，
∴mx²-mx-1＜-m+5，
∴（x²-x+1）m-6＜0，
∵对一切实数m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，
且x²-x+1＞0，
∴只需2（x²-x+1）-6＜0，
解得-1＜x＜2．
∴x的取值范围是（-1，2）．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．