题目内容
【题目】已知函数.
(1)证明:函数在
上单调递增;
(2)若,
,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题解析:(1)求导 ,判断其符号,可知函数
在
上单调递增;
(2)由(1)得在
上单调递增,又
,所以
,分类讨论
(ⅰ)当时,
成立.
(ⅱ)当时,
构造函数,利用导数讨论其单调性,可知
时,
.(*)
由(*)式可得,
令,求导
由(*)式可得 ,
令 ,得
在
上单调递增,研究函数
的性质可知
存在 使得
,即
时,
,
即时,
,
单调递减,又
,所以
,
即时,
,与
矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是
.
试题解析:
(1),
因为,所以
,于是
(等号当且仅当
时成立).
故函数在
上单调递增.
(2)由(Ⅰ)得在
上单调递增,又
,所以
,
(ⅰ)当时,
成立.
(ⅱ)当时,
令,则
,
当时,
,
单调递减,又
,所以
,
故时,
.(*)
由(*)式可得,
令,则
由(*)式可得,
令,得
在
上单调递增,
又,
,所以存在
使得
,即
时,
,
所以时,
,
单调递减,又
,所以
,
即时,
,与
矛盾.
综上,满足条件的的取值范围是
.
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