题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围;
(3)求证:.
【答案】(1)在区间上为增函数;在区间上为减函数.(2).(3)证明见解析.
【解析】分析:(1)由函数的解析式可得,则函数在区间上为增函数,在区间上为减函数;
(2)令,则,,而,据此可得.
(3)原不等式等价于.由(1)得,令,则,据此即可证得题中的结论.
详解:(1)函数定义域为,;
在区间上,为增函数;
在区间上,为减函数;
(2)令,
在区间,为,为减函数;
在区间,为,为增函数;
,
由(1)得,
若关于的方程有实数解等价于.
即:.
(3)原不等式等价于.
由(1)得,当且仅当时取等号,
即,当且仅当时取等号.
令,,所以函数在上为增函数,
所以,即,
由此得,即.
【题目】2018 年1月16日,由新华网和中国财经领袖联盟联合主办的2017中国财经年度人物评选结果揭晓,某知名网站财经频道为了解公众对这些年度人物是否了解,利用网络平台进行了调查,并从参与调查者中随机选出人,把这人分为 两类(类表示对这些年度人物比较了解,类表示对这些年度人物不太了解),并制成如下表格:
年龄段 | 岁~岁 | 岁~岁 | 岁~岁 | 岁~岁 |
人数 | ||||
类所占比例 |
(1)若按照年龄段进行分层抽样,从这人中选出人进行访谈,并从这人中随机选出两名幸运者给予奖励.求其中一名幸运者的年龄在岁~岁之间,另一名幸运者的年龄在岁~岁之间的概率;(注:从人中随机选出人,共有种不同选法)
(2)如果把年龄在 岁~岁之间的人称为青少年,年龄在岁~岁之间的人称为中老年,则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为青少年与中老年人在对财经年度人物的了解程度上有差异?
参考数据:
,其中