题目内容

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围;

(3)求证:.

【答案】(1)在区间为增函数;在区间为减函数.(2).(3)证明见解析.

【解析】分析:(1)由函数的解析式可得,则函数在区间上为增函数,在区间上为减函数;

(2)令据此可得.

(3)原不等式等价于.由(1)得,令据此即可证得题中的结论.

详解:(1)函数定义域为

在区间为增函数;

在区间为减函数;

(2)令

在区间,为为减函数;

在区间,为为增函数;

由(1)得

若关于的方程有实数解等价于.

即:.

(3)原不等式等价于.

由(1)得,当且仅当时取等号,

,当且仅当时取等号.

,所以函数在上为增函数

所以,即

由此得,即.

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