题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
为线段
的中点，
是线段
上一动点．
（1）当
时，求证：
面
；
（2）当
的面积最小时，求三棱锥
的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
分析：（1）先利用勾股定理得到线线垂直，利用“同一平面内与一条直线垂直的直线平行”得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）先利用等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到面面垂直和线线垂直，进而确定
为直角三角形，确定何时取得最小值，再利用三棱锥的体积公式进行求解．
详解：（1）直角
中，
，
在
中，由
知
，
∴
，又
面
，∴
面.
（2）等腰直角中，由
为
中点知，
，
又由，
，
知
面
，
由
面，∴
，
又，
知
面
，
由
面，∴
，
即为直角三角形，
∴
最小时，
的面积最小，
过点作
的垂线时，当
为垂足时，最小为
，
∴
.
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