Question

【题目】如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且ABBP2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．

（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；

（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面，所以直线，两两垂直，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 为平面的一个法向量，利用向量垂直的性质列方程组求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）设，．由（1）知，平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.

试题解析：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEPAB，BP⊥AB，

所以BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，所以直线BA，BP，BC两两垂直，

以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），

因为BC⊥平面ABPE，所以为平面ABPE的一个法向量，

，设平面PCD的一个法向量为，

则 即令，则，故，

设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为，则，

显然，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值．

（2）设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．

设，．

由（1）知，平面PCD的一个法向量为，

所以，

即，解得或（舍去）．

当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．