题目内容
（2011•重庆三模）已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于
，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=（ ）
| πR |
| 3 |
分析：根据球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于
，得出AB=BC=CA=R，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r=2，故可以得到高，设D是BC的中点，在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．
| πR |
| 3 |
解答：解：∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于
，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=
，
∴AB=BC=CA=R，设球心为O，
因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=
r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=
，所以BC=BO=R，BD=
BC=
R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=
R2+9，所以R=2
．
故选B．
| πR |
| 3 |
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=
| π |
| 3 |
∴AB=BC=CA=R，设球心为O，
因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=
| 3 |
| 2 |
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
故选B．
点评：本题考查对球的性质认识及利用，以及学生的空间想象能力，是基础题．
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