Question

若函数f(x)=

a•2x-a-1

2x-1

为奇函数．
（1）求函数的定义域；          
（2）确定实数a的值；
（3）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）利用函数的成立的条件，求函数的定义域．
（2）利用函数是奇函数，建立方程f（-x）=-f（x），然后求a．
（3）利用函数单调性的定义进行证明．

解答：解：（1）要使函数有意义，则2^x-1≠0，解得x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即

a?2-x-a-1

2-x-1

=-

a?2x-a-1

2x-1

，
∴

a-(a+1)2x

1-2x

=

a?2x-a-1

1-2x

，整理得a-（a+1）2^x=a?2^x-（a+1）恒成立，
∴a=-（a+1），解得a=-

1

2

．
（3）∵a=-

1

2

．
∴f（x）=

- 1 2 ?2x- 1 2

2x-1

=-

1

2

?

2x+1

2x-1

=-

1

2

?

2x-1+2

2x-1

=-

1

2

-

2

2x-1

．
函数在（0，+∞）上是增函数．
证明：在定义域上任设两个变量x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=-

1

2

?

2x+1

2x-1

=

2

2x2-1

-

2

2x1-1

=

2(2x1-2x2)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，2x2-1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，与指数函数有关的定义域，以及函数单调性的判断和证明，要求熟练掌握函数单调性的定义及证明过程．