题目内容

自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1>0.不考虑其它因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1与xn的关系式;
(Ⅱ)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)
(Ⅲ)设a=2,b>0,c=1为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少?证明你的结论.
(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为

(II)猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(Ⅲ)为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.
本题是对数列、函数、数学归纳法等知识的综合考查,在作数列方面的应用题时,一定要认真真审题,仔细解答,避免错误.
(Ⅰ)利用题中的关系求出鱼群的繁殖量,被捕捞量和死亡量就可得到xn+1与xn的关系式;
(Ⅱ)每年年初鱼群的总量保持不变就是xn恒等于x1,转化为xn+1-xn=0恒成立,再利用(Ⅰ)的结论,就可找到x1,a,b,c所满足的条件;
(Ⅲ)先利用(Ⅰ)的结论找到关于xn和b的不等式,再利用x1∈(0,2),求出b的取值范围以及b的最大允许值,最后在用数学归纳法进行证明即可.
解(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得

因为x1>0,所以a>b.
猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变.
(Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*
由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知
0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1.
而x1∈(0, 2),所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk­)>0.
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是1.
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