Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD
是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（I）试判断直线PB与平面EAC的关系
（文科不必证明，理科必须证明）；
（II）求证：AE⊥平面PCD；
（III）若AD＝AB，试求二面角A－PC－D
的正切值.

Answer 1

（I）PB∥平面EAC．（II）证明见解析 ，（III）二面角A－PC－D的正切值为．  

解法一：
（I）PB∥平面EAC．证明如下：
连结BD交AC于点O，连结EO，则O为BD的中点，
又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，∴PB∥平面EAC．
（II）∵CD⊥AD，且侧面PAD⊥底面ABCD，
而侧面PAD底面ABCD＝AD，
∴CD⊥侧面PAD，∴CD⊥AE．
∵侧面PAD是正三角形，E为侧棱PD的中点，
∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD；     
（III）过E作EM⊥PC于M，连结AM，由（2）及三垂线定理知AM⊥PC．
∴∠AME为二面角A－PC－D的平面角．                               10分
由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，∴PD＝AD＝AB＝DC，
∴在等腰直角三角形DPC中，设AB＝a，则AE＝a，PC＝a，EM＝×a． 12分
在△AEM中，tan∠AME＝＝＝． 
即二面角A－PC－D的正切值为．        
解法二：（I）同解法一                   

（II）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为△PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PN⊥AD，QN⊥AD，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥面ABCD，QN⊥面PAD，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系．设AD＝1，AB＝a，则，，，，，．                                                                                                   
∴，，.
∴，.
∴．又，PD，DC面PDC，
∴AE⊥平面PCD；            
（III）当a＝1时，由（2）可知：是平面PDC的法向量，
设平面PAC的法向量为，则，，
即，取x＝1，可得：y＝1，z＝．所以，．    
向量与所成角的余弦值为：．  
∴tanq＝．                                                             
又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角．其正切值等于.                                       14分