题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣kx+k.
(Ⅰ)若f(x)≥0有唯一解,求实数k的值;
(Ⅱ)证明:当a≤1时,x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1.
(附:ln2≈0.69,ln3≈1.10, ,e2≈7.39)
【答案】解法一:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞). 要使f(x)≥0有唯一解,只需满足f(x)max=0,且f(x)max=0的解唯一,(1分) ,
①当k≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
所以f(x)≥0的解集为[1,+∞),不符合题意;
②当k>0时,且 时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;当
时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)有唯一的一个最大值为
,
令 ,得k=1,此时f(x)有唯一的一个最大值为f(1),且f(1)=0,故f(x)≥0的解集是{1},符合题意;
综上,可得k=1.
(Ⅱ)要证当a≤1时,x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,
即证当a≤1时,ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,
即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0.(7分)
由(Ⅰ)得,当k=1时,f(x)≤0,即lnx≤x﹣1,从而xlnx≤x(x﹣1),
故只需证ex﹣2x2+x﹣1>0,当x>0时成立;
令h(x)=ex﹣2x2+x﹣1(x≥0),则h'(x)=ex﹣4x+1,
令F(x)=h'(x),则F'(x)=ex﹣4,令F'(x)=0,得x=2ln2.
因为F'(x)单调递增,所以当x∈(0,2ln2]时,F'(x)≤0,F(x)单调递减,即h'(x)单调递减,当x∈(2ln2,+∞)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,即h'(x)单调递增,
所以h'(ln4)=5﹣8ln2<0,h'(0)=2>0,h'(2)=e2﹣8+1>0,
由零点存在定理,可知x1∈(0,2ln2),x2∈(2ln2,2),使得h'(x1)=h'(x2)=0,
故当0<x<x1或x>x2时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x1<x<x2时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)的最小值是h(0)=0或h(x2).
由h'(x2)=0,得 ,h(x2)=
,
因为x2∈(2ln2,2),所以h(x2)>0,
故当x>0时,h(x)>0,所以原不等式成立.
解法二:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞). ,(1分)
①当k≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,所以f(x)≥0的解为[1,+∞),此时不符合题意;
②当k>0时, ,
所以当 时,f'(x)≥0,f(x)单调递增;当
时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以
,
,
令g(k)=k﹣lnk﹣1, ,
当k∈(0,1]时,g'(k)≤0,g(k)单调递减,当k∈(1,+∞)时,g'(k)>0,g(k)单调递增,所以g(k)≥g(1)=0,由此可得当k>0且k≠1时, ,
且当x→0+ , x→+∞时,f(x)→﹣∞,由零点存在定理, ,
使得f(x1)=f(x2)=0,当x1≤x≤x2时,f(x)≥0,解集不唯一,不符合题意;
当k=1时,f(x)≤f(1)=0,所以f(x)≥0的解集是{1},符合题意;
综上可得,当k=1时,f(x)≥0有唯一解;
(Ⅱ)要证明当a≤1时,x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,
即证当a≤1时,ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,(因为ax2≤x2)
即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0,(7分)
令F(x)=ex﹣x2﹣xlnx﹣1(x>0),则F'(x)=ex﹣2x﹣lnx﹣1,
令G(x)=F'(x),则 在(0,+∞)上单调递增,且G'(1)<0,G'(2)>0,
所以x0∈(1,2)使得G'(x0)=0,即 ,
所以当x>x0时,G'(x)>0,G(x)单调递增,即F'(x)递增;
当0<x<x0时,G'(x)<0,G(x)单调递减,即F'(x)递减,
所以 ,
,
当x∈(1,2)时递减,F'(x0)min<H(1)=0,
当x→0时,F'(x)→+∞, ,
由零点存在定理,可得x1∈(0,x0), ,F'(x1)=F'(x2)=0,
故当0<x<x1或x>x2时,F'(x)>0,F(x)单调递增,
当x1<x<x2时,F'(x)<0,F(x)单调递减,
当x→0+时,F(x)→0,由F'(x2)=0得, ,
,
又F(x2)= ,
令M(x)=﹣x2+2x+lnx﹣xlnx( ),
则 在
递减,且M'(1)=0,所以M'(x)<0,
所以M(x)在 递减,
,
所以当 ,M(x)>0,即F(x2)>0,
所以F(x)>0,即原不等式成立.
【解析】解法一:(Ⅰ)要使f(x)≥0有唯一解,只需满足f(x)max=0,且f(x)max=0的解唯一,分①当k≤0,②当k>0 讨论求解;(Ⅱ)要证当a≤1时,x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,即证当a≤1时,ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0.由(Ⅰ)得xlnx≤x(x﹣1),故只需证ex﹣2x2+x﹣1>0,当x>0时成立;解法二:(Ⅰ)分①当k≤0时,②当k>0时两种情况求解,(Ⅱ)要证明当a≤1时,x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1,即证当a≤1时,ex﹣ax2﹣xlnx﹣1>0,(因为ax2≤x2),即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】探究函数,x∈(0,+∞)取最小值时x的值,列表如下:
x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题:
(1)函数(x>0)在区间(0,2)上递减;函数
在区间________上递增.当x=_________时,
_______.
(2)证明:函数(x>0)在区间(O,2)上递减.