Question

5．已知点O₁是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面的中心，求证：对角线A₁C与平面AD₁B₁的交点P一定在AO₁上．

Answer 1

分析 由已知条件利用公理三得面AA₁D₁∩平面AA₁C₁C=AO₁，且P∈平面AA₁C₁C，P∈平面AB₁D₁，由此利用公理三能证明对角线A₁C与平面AD₁B₁的交点P一定在AO₁上．

解答 证明：连结A₁C₁，AC，
∵O₁是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面的中心，
∴O₁∈A₁C₁，且O₁∈B₁D₁，
∵A₁C₁?平面AA₁C₁C，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴O₁∈平面AA₁C₁C，O₁∈平面AB₁D₁，
又∵A∈平面AA₁C₁C，A∈平面AB₁D₁，
∴面AA₁D₁∩平面AA₁C₁C=AO₁，
∵对角线A₁C∩平面AD₁B₁=P，
∴P∈平面AA₁C₁C，P∈平面AB₁D₁，
∴公理三得对角线A₁C与平面AD₁B₁的交点P一定在AO₁上．

点评 本题考查点在直线上的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意公理三的合理运用．