题目内容
(本小题满分12分)
已知函数
在
处取得极值.
(Ⅰ) 求实数
的值；
(Ⅱ) 若关于
的方程
在区间
上恰有两个不同的实数根，求实数
的取值范围.
已知函数
在处取得极值.(Ⅰ) 求实数
的值；(Ⅱ) 若关于
的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.解
：（Ⅰ）
. .........................................2分
∵时，
取得极值，∴
...................................3分
故
，解得
.经检验符合题意，∴............4分
（Ⅱ）由知
，由，得
，令
，则
在上恰有两个不同的实数根等价于
在上恰有两个不同实数根.
...................................6分
当
时，
，于是
在
上单调递增；....................7分
当
时，
，于是在
上单调递减......................8分
依题意有
，..................................11分
解得
................................................12分
：（Ⅰ）. .........................................2分∵
时，取得极值，∴...................................3分故
，解得.经检验符合题意，∴............4分（Ⅱ）由
知，由，得，令，则在上恰有两个不同的实数根等价于在上恰有两个不同实数根....................................6分当
时，，于是在上单调递增；....................7分当
时，，于是在上单调递减......................8分依题意有
，..................................11分解得
................................................12分略
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上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程
有三
个根，它们分别为
．
；
的取值范围
处的切线方程；
作曲线
的切线，求此切线的方程.
与学习时间
(单位时间)之间有如下函数关系: 
（这里我们称这一函数关系为“学习曲线”）.
上的平均学习效率为
，这项学习任务从在从第
个
的图象上，其切线的倾斜角小于
的点中，坐标为整数的点的个是 
，若
, 则
图象如
图，则函数 
的单调递增区间为（ ）
，则
（ ）
