题目内容
如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F分别是AB,PD的中点.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若PA=6,AD=10,CD=15,求二面角P-CE-A的大小.
(Ⅰ)求证:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)若PA=6,AD=10,CD=15,求二面角P-CE-A的大小.
分析:(Ⅰ)取PC中点M,连ME,MF.利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质、线面平行的判定定理即可得出;
(II)延长DA,CE交于N.过A作AH⊥CN于H,连PH.利用PA⊥平面ABCD,可得PA⊥CN.于是CN⊥平面PHA.又PH?平面PHA,CN⊥PH.因此∠PHA为二面角P-EC-A的平面角.在Rt△PHA中求出即可.
(II)延长DA,CE交于N.过A作AH⊥CN于H,连PH.利用PA⊥平面ABCD,可得PA⊥CN.于是CN⊥平面PHA.又PH?平面PHA,CN⊥PH.因此∠PHA为二面角P-EC-A的平面角.在Rt△PHA中求出即可.
解答:(Ⅰ)证明:取PC中点M,连ME,MF.
∵FM∥CD,FM=
CD,AE∥CD,AE=
CD,
∴AE∥FM,且AE=FM,即四边形AFME是平行四边形.
∴AF∥EM.
∵AF?平面PCE,∴AF∥平面PCE.
(Ⅱ)解:延长DA,CE交于N.过A作AH⊥CN于H,连PH.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CN.∴CN⊥平面PHA.
又PH?平面PHA,∴CN⊥PH.
∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角.
∵AD=10,CD=15,∴CN=25,即EN=
.
又PA=6,∴AH=
=
=6.
∴tan∠PHA=
=
=1.
∴二面角P-EC-A的大小为
.
∵FM∥CD,FM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AE∥FM,且AE=FM,即四边形AFME是平行四边形.
∴AF∥EM.
∵AF?平面PCE,∴AF∥平面PCE.
(Ⅱ)解:延长DA,CE交于N.过A作AH⊥CN于H,连PH.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CN.∴CN⊥平面PHA.
又PH?平面PHA,∴CN⊥PH.
∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角.
∵AD=10,CD=15,∴CN=25,即EN=
25 |
2 |
又PA=6,∴AH=
AN•AE |
EN |
10×
| ||
|
∴tan∠PHA=
PH |
AH |
6 |
6 |
∴二面角P-EC-A的大小为
π |
4 |
点评:熟练掌握三角形的中位线定理和平行四边形的性质、线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理、二面角的定义及其作法等是解题的关键.
练习册系列答案
相关题目