Question

在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=4

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，则点P到平面ABC的距离为

 

；若P，A，B，C四点在某个球面上，则球的半径为

 

．

Answer 1

分析：三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=4

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，可得到此三棱锥是正三棱锥其在底面的投影是底面三角形的中心，不妨令此中心点为M，在直角三角形AMP中用勾股定理求点P到平面ABC的距离PM；若P，A，B，C四点在某个球面上，则可令球心为O，可得出OM=PM-r，由于三棱锥O-ABC仍是一正三棱锥，故可在直角三角形OMA中用勾股定理建立关于球的半径r的方程求r．

解答：解：（1）由题意三棱锥P-ABC是正三棱锥，作PM⊥面ABC于M，则M是顶点P在底面上的投影
   由正三棱锥的性质知M是底面的中心，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴MA=2

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 又PA=PB=PC=4

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，在直角三角形AMP中，PM=

PA2-MA2

=6
 故点P到平面ABC的距离为 6
（2）若P，A，B，C四点在某个球面上，由（1）知，此球心必在线段PM上，令球心为O，可知PO=r，则OM=6-r
   由于三棱锥O-ABC是一个正三棱锥，且侧棱长为半径r，
   又由（1）MA=2

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  在直角三角形OMA中有OA²=OM²+MA² 即r²=（6-r）²+12
  由此解得  r=4
故答案为  6；      4

点评：本题考点是点、线、面间的距离，考查根据三棱锥的几何特征求线段的长度，本题作用是训练空间想象能力，只有对相关的点线面间的位置关系比较熟悉才可以找到求解的方向，学习时应注意培养空间立体感觉．