题目内容

证明：函数f(x)=x2-
1x
在区间（0，+∞）上是增函数．
分析：本题宜用导数法证明单调性，先求导，然后判断导数值在区间（0，+∞）上的符号，根据规则得出结论．
解答：证明：由题意f′(x)=2x +
1
x 2

∵x∈（0，+∞）
∴f′(x)=2x +
1
x 2
＞0
故函数f(x)=x2-
1
x
在区间（0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查函数单调性的证明，证明函数的单调性一般用定义法，导数法，有些函数的单调性也可以用基本函数的单调性进行判断，本题从形式上看用导数法证明比较方便，故采取了求导的方法证明函数的单调性．
练习册系列答案
相关题目
用定义证明：函数f(x)=x+
4x
在x∈[2，+∞）上是增函数．
探究函数f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
x … 0.5 1 1.5 1.7 2 2.1 2.3 3 4 7 …
y … 64.25 17 9.36 8.43 8 8.04 8.31 10.7 17 49.33 …
已知：函数f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)在区间（0，2）上递减，问：
（1）函数f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）证明：函数f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)在区间（0，2）递减；
（3）思考：函数f(x)=x2+
16
x2
(x＜0)有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
用单调性的定义证明：函数f(x)=
x+2x+1
在（-1，+∞）上是减函数．
观察下列表格，探究函数f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性质，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+
4
x
(x＞0)在区间
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．
当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
（2）证明：函数f(x)=x+
4
x
在区间（0，2）递减．
（3）函数f(x)=x+
4
x
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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