题目内容
探究函数f(x)=x2+
(x＞0)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
已知：函数f(x)=x2+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，问：
（1）函数f(x)=x2+
(x＞0)在区间
（2）证明：函数f(x)=x2+
(x＞0)在区间（0，2）递减；
（3）思考：函数f(x)=x2+
(x＜0)有最大值或最小值吗？如有，是多少？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 16 |
| x2 |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 2 | 2.1 | 2.3 | 3 | 4 | 7 | … |
| y | … | 64.25 | 17 | 9.36 | 8.43 | 8 | 8.04 | 8.31 | 10.7 | 17 | 49.33 | … |
| 16 |
| x2 |
（1）函数f(x)=x2+
| 16 |
| x2 |
（2，+∞）
（2，+∞）
上递增．当x=2
2
时，y最小=4
4
．（2）证明：函数f(x)=x2+
| 16 |
| x2 |
（3）思考：函数f(x)=x2+
| 16 |
| x2 |
分析：（1）由图表可知，函数的单调增区间为（2，+∞）； 当x=2时y最小=4，由此得到答案．
（2）设 0＜x1＜x2 ＜2，化简f（x1）-f（x2） 为
＞0，从而f（x1）-f（x2）＞0，
可得函数在（0，2）上为减函数．
（3）根据函数解析式可得，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．
（2）设 0＜x1＜x2 ＜2，化简f（x1）-f（x2） 为
| (x12-x22)(x12x22-16) |
| (x1x2)2 |
可得函数在（0，2）上为减函数．
（3）根据函数解析式可得，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．
解答：解：（1）由图表可知，函数的单调增区间为（2，+∞）； 当x=2时y最小=4．
故答案为（2，+∞），2，4． …（4分）
（2）证明：设 0＜x1＜x2 ＜2，
∵f（x1）-f（x2）=x12+
-x22+
=(x12-x22)(1-
)=
．
又∵0＜x1＜x2＜2，∴x12-x22＜0，又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜(x1x2)2＜16，
∴(x1x2)2-16＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0∴函数在（0，2）上为减函数．…（9分）
（3）思考：y=x2+
，x∈(-∞，0)，当x=-2时，函数y有最小值等于 8．…（12分）
故答案为（2，+∞），2，4． …（4分）
（2）证明：设 0＜x1＜x2 ＜2，
∵f（x1）-f（x2）=x12+
| 16 |
| x12 |
| 16 |
| x22 |
| 16 |
| (x1x2)2 |
| (x12-x22)(x12x22-16) |
| (x1x2)2 |
又∵0＜x1＜x2＜2，∴x12-x22＜0，又∵x1，x2∈（0，2），∴0＜(x1x2)2＜16，
∴(x1x2)2-16＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0∴函数在（0，2）上为减函数．…（9分）
（3）思考：y=x2+
| 16 |
| x2 |
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的最值及其几何意义，属于中档题．
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，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |