题目内容
椭圆以双曲线
的实轴为短轴、虚轴为长轴,且与抛物线
交于
两点.
(1)求椭圆的方程及线段
的长;
(2)在与
图像的公共区域内,是否存在一点
,使得
的弦
与
的弦
相互垂直平分于点
?若存在,求点
坐标,若不存在,说明理由.
(1) ,
;(2)不存在这样的点
.
解析试题分析:(1) 求椭圆的方程,只需求出
即可,由双曲线
得,
,故得椭圆
,从而得椭圆
的方程为
,求线段
的长,只需求出
的坐标,由椭圆
的方程,及抛物线的方程
,联立方程组解得
,从而可得线段
的长;(2)这是探索性命题,一般假设存在,可设出
,代入椭圆
的方程,两式作差,得
,设出
,代入抛物线
,两式作差,得
,
的弦
与
的弦
相互垂直得,
,从而得到
,由题设条件,来判断点
是否存.
试题解析:(1)椭圆:
;联立方程组解得
,所以
.
(2)假设存在,由题意将坐标带入
做差得
,将
坐标带入
得
,
,故满足条件的
点在抛物线
外,所以不存在这样的点
.
考点:椭圆的方程,直线与二次曲线位置关系.
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