题目内容
已知函数 ,a∈R.
(Ⅰ)当 a=1时,求函数 f(x)的最小值;
(Ⅱ)当a<0时,讨论函数 f(x)的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立,若存在求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
由,
当a=1时,,
.
∴当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数.
∴f(x)在x=2时取得最小值,其最小值为f(2)=-2ln2.
(Ⅱ)∵,
∴(1)当-2<a<0时,若x∈(0,-a),f'(x)>0,f(x)为增函数;
若x∈(-a,2),f'(x)<0,f(x)为减函数;
若x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数.
(2)当a=-2时,在(0,+∞)上f′(x)≥0,f(x)为增函数;
(3)当a<-2时,若x∈(0,2),f'(x)>0,f(x)为增函数;
若x∈(2,-a),f'(x)<0,f(x)为减函数;
若x∈(-a,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数.
(Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立,
不妨设0<x1<x2,只要,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.
令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数即可.
又函数.
考查函数
要使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a,
故存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,
有恒成立.
分析:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求导后解出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,判出在各区间段内的单调性,从而的导函数的最小值;
(Ⅱ)求出函数的导函数,根据a的不同取值对函数定义域分段,由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性;
(Ⅲ)在假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立的前提下,把问题转化为(x2)-ax2>f(x1)-ax1恒成立,然后构造函数g(x)=f(x)-ax,利用导函数求出使函数g(x)在(0,+∞)上为增函数的a的取值范围.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了导数在最大值最小值中的应用,考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法,训练了利用构造函数法求参数的取值范围,属难题.
由,
当a=1时,,
.
∴当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数.
∴f(x)在x=2时取得最小值,其最小值为f(2)=-2ln2.
(Ⅱ)∵,
∴(1)当-2<a<0时,若x∈(0,-a),f'(x)>0,f(x)为增函数;
若x∈(-a,2),f'(x)<0,f(x)为减函数;
若x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数.
(2)当a=-2时,在(0,+∞)上f′(x)≥0,f(x)为增函数;
(3)当a<-2时,若x∈(0,2),f'(x)>0,f(x)为增函数;
若x∈(2,-a),f'(x)<0,f(x)为减函数;
若x∈(-a,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数.
(Ⅲ)假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立,
不妨设0<x1<x2,只要,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1.
令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)为增函数即可.
又函数.
考查函数
要使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a,
故存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,
有恒成立.
分析:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求导后解出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段,判出在各区间段内的单调性,从而的导函数的最小值;
(Ⅱ)求出函数的导函数,根据a的不同取值对函数定义域分段,由函数导函数的符号判断原函数在各区间段内的单调性;
(Ⅲ)在假设存在实数a使得对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有恒成立的前提下,把问题转化为(x2)-ax2>f(x1)-ax1恒成立,然后构造函数g(x)=f(x)-ax,利用导函数求出使函数g(x)在(0,+∞)上为增函数的a的取值范围.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了导数在最大值最小值中的应用,考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想方法,训练了利用构造函数法求参数的取值范围,属难题.
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