题目内容
已知函数
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 记函数y=F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点,如果在曲线C上存在点M(x,y),使得:①

试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
【答案】分析:(I)根据对数函数的定义求得函数的定义域,再根据f(x)的解析式求出f(x)的导函数,然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间;
(II)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得AB存在“中值相依切线”,根据斜率公式求出直线AB的斜率,利用导数的几何意义求出直线AB的斜率,它们相等,再通过构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论.
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞).…(1分)
由已知得,
.…(2分)
(1)当a>0时,令f'(x)>0,解得0<x<1; 令f'(x)<0,解得x>1.
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.…(3分)
(2)当a<0时,
①当
时,即a<-1时,令f'(x)>0,解得
或x>1;
令f'(x)<0,解得
.
所以,函数f(x)在
和(1,+∞)上单调递增,在
上单调递减;…(4分)
②当
时,即a=-1时,显然,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; …(5分)
③当
时,即-1<a<0时,令f'(x)>0,解得0<x<1或
;
令f'(x)<0,解得
.
所以,函数f(x)在(0,1)和
上单调递增,在
上单调递减.…(6分)
综上所述,(1)当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(2)当a<-1时,函数f(x)在
和(1,+∞)上单调递增,在
上单调递减;
(3)当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(4)当-1<a<0时,函数f(x)在(0,1)和
上单调递增,在
上单调递减.…(7分)
(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)上的不同两点,且0<x1<x2,
则
,
.
=
=
…(8分)
曲线在点M(x,y)处的切线斜率k=f'(x)=
=
,…(9分)
依题意得:
=
.
化简可得:
=
,
即
=
=
.…(11分)
设
(t>1),上式化为:
,
即
.…(12分)
令
,
=
.
因为t>1,显然g'(t)>0,所以g(t)在(1,+∞)上递增,
显然有g(t)>2恒成立.
所以在(1,+∞)内不存在t,使得
成立.
综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值相依切线”.…(14分)
点评:此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,灵活运用中点坐标公式化简求值,掌握反证法进行命题证明的方法,是一道综合题,属难题.
(II)假设函数f(x)的图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得AB存在“中值相依切线”,根据斜率公式求出直线AB的斜率,利用导数的几何意义求出直线AB的斜率,它们相等,再通过构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论.
解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,+∞).…(1分)
由已知得,

(1)当a>0时,令f'(x)>0,解得0<x<1; 令f'(x)<0,解得x>1.
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.…(3分)
(2)当a<0时,
①当


令f'(x)<0,解得

所以,函数f(x)在


②当

③当


令f'(x)<0,解得

所以,函数f(x)在(0,1)和


综上所述,(1)当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
(2)当a<-1时,函数f(x)在


(3)当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(4)当-1<a<0时,函数f(x)在(0,1)和


(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)上的不同两点,且0<x1<x2,
则




=

曲线在点M(x,y)处的切线斜率k=f'(x)=


依题意得:


化简可得:


即



设


即

令



因为t>1,显然g'(t)>0,所以g(t)在(1,+∞)上递增,
显然有g(t)>2恒成立.
所以在(1,+∞)内不存在t,使得

综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值相依切线”.…(14分)
点评:此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,灵活运用中点坐标公式化简求值,掌握反证法进行命题证明的方法,是一道综合题,属难题.

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