题目内容
已知函数,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)如果对于区间上的任意一个x,都有f(x)≤1成立,求a的取值范围.
【答案】分析:(1)结合函数解析式的结构特征对函数进行配方可得,进而得到函数的最大值.
(2)根据函数解析式的特征对函数进行配方可得,结合函数的定义域进行换元可得二次函数,即可利用二次函数的性质求出函数的最值,进而解决恒成立问题.
解答:解:(1)由题意可得:.
所以当时,函数f(x)的最大值是.
(2).
当时,0≤cosx≤1,令t=cosx,则0≤t≤1.
,0≤t≤1.
当,即0≤a≤2时,则当,即时,
,
解得,
则;
当,即a<0时,则当t=0即cosx=0时,
,
解得,
则a<0.
当,即a>2时,则当t=1即cosx=1时,
,
解得,无解.
综上可知,a的取值范围.
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质,二次函数的对称轴与区间的位置关系可以确定函数的最值.
(2)根据函数解析式的特征对函数进行配方可得,结合函数的定义域进行换元可得二次函数,即可利用二次函数的性质求出函数的最值,进而解决恒成立问题.
解答:解:(1)由题意可得:.
所以当时,函数f(x)的最大值是.
(2).
当时,0≤cosx≤1,令t=cosx,则0≤t≤1.
,0≤t≤1.
当,即0≤a≤2时,则当,即时,
,
解得,
则;
当,即a<0时,则当t=0即cosx=0时,
,
解得,
则a<0.
当,即a>2时,则当t=1即cosx=1时,
,
解得,无解.
综上可知,a的取值范围.
点评:解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质,二次函数的对称轴与区间的位置关系可以确定函数的最值.
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