题目内容

在平行四边形ABCD中， $数学公式$ ， $数学公式$ ，连接CE、DF相交于点M，若 $数学公式$ ，则实数λ与μ的乘积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：由题意可得 $\text{[math]}$ =2（λ-μ） $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，由E、M、C三点共线，可得2λ-μ=1，①同理可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，由D、M、F三点共线，可得 $\text{[math]}$ λ+μ=1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．
解答：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=（λ-μ） $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ =2（λ-μ） $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，
因为E、M、C三点共线，故有2（λ-μ）+μ=1，即2λ-μ=1，①
同理可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ $\text{[math]}$ ）=1，即 $\text{[math]}$ λ+μ=1，②
综合①②可解得λ= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故实数λ与μ的乘积 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选B
点评：本题考查平面向量基本定理即意义，涉及三点共线的结论，属中档题．