题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PA的中点，F为BC的中点，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：（1）平面EFO∥平面PCD；
（2）平面PAC⊥平面PBD．
分析：（1）由题意知，EO∥PC，由线面平行的判定定理得到EO∥平面PCD，同理可证，FO∥平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得证平面EFO∥平面PCD．
（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得证平面PAC⊥平面PBD．
（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得证平面PAC⊥平面PBD．
解答：解：（1）因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC
又EO?平面PCD，PC?平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O
所以，平面EFO∥平面PCD．
（2）因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．
又EO?平面PCD，PC?平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O
所以，平面EFO∥平面PCD．
（2）因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．
点评：本小题主要考查空间线面关系，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力．
练习册系列答案
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