Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点B(0，-2

2

)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由kAB=-

2

，AB⊥BC，知kCB=

2

2

，由此能求出BC边所在直线方程；
（2）在BC边所在直线方程中，令y=0，得C（4，0），由此知圆心M（1，0），再由AM=3，可求出圆M的方程；
（3）由圆N过点P（-1，0），知PN是该圆的半径．再由动圆N与圆M内切，知MN+PN=3，故点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，由此能求出其轨迹方程．

解答：解：（1）∵kAB=-

2

，AB⊥BC，
∴kCB=

2

2

，
∴BC：y=

2

2

x-2

2

（3分）
（2）在上式中，令y=0，得C（4，0），
∴圆心M（1，0）
又∵AM=3，
∴外接圆的方程为（x-1）²+y²=9（7分）
（3）∵P（-1，0），M（1，0）
∵圆N过点P（-1，0），
∴PN是该圆的半径
又∵动圆N与圆M内切，
∴MN=3-PN，即MN+PN=3（11分）
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，
∴a=

3

2

，c=1，（13分）
b=

a2-c2

=

5 4

，
∴轨迹方程为

x2

9 4

+

y2

5 4

=1（15分）

点评：本题考查圆锥曲线的轨迹方程，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的合理运用．