Question

设函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8，其中a∈R。
(1)若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；
(2)若f(x)在(-∞，0)上为增函数，求a的取值范围。

Answer 1

解：（1），
因f(x)在x=3取得极值，
所以，解得a=3，
经检验知，当a=3时，x=3为f(x)的极值点。
（2）令，得，
当a＜1时，若，则，
所以f(x)在(-∞，a)和和(1，+∞)上为增函数，
故当0≤a＜1时，f(x)在(-∞，0)上为增函数；
当a≥1时，若，则，
所以f(x)在(-∞，1)和(a，+∞)上为增函数，从而f(x)在(-∞，0]上也为增函数；
综上所述，当时，f(x)在(-∞，0)上为增函数。