题目内容
【题目】已知函数,且
.
求定义域;
若函数
的反函数是其本身,求a的值;
求函数
的值域.
【答案】(1); (2)
;(3) 当
时,函数的值域是
;当
时,函数的值域是
.
【解析】
(1)由函数解析式的特征得到关于的不等式,解不等式可得所求结果;(2)求出函数的反函数,利用条件中给出的相等关系式求出
的值;(3)先求出函数
的定义域,然后通过分类讨论得到函数的值域即可.
(1)由,得
,
解得;
所以函数的定义域为.
(2)由,且
,解得
,
互换,得
,
所以函数的反函数为.
由于函数的反函数是其本身,
所以.
(3)由题意得
,
由,得
,
∴函数的定义域为
.
∵,当且仅当
时等号成立,
∴,
故的取值范围是
.
①当时,
,
∴函数的值域是
.
②当时,
,
∴函数的值域是
.
综上可得,当时,函数的值域是
;当
时,函数的值域是
.
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