Question

11．实数p为何值时，对任意实数x，不等式-9＜$\frac{3{x}^{2}+6x+p}{{x}^{2}-x-1}$≤6恒成立．

Answer 1

分析 注意到所给的不等式分母为正，因此可以将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，借助于二次函数的知识由判别式小于0，解二次不等式不难解决．

解答 解：不等式-9＜$\frac{3{x}^{2}+px+6}{{x}^{2}-x+1}$≤6对?x∈R恒成立，
结合x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
故原式可化为12x²+（p-9）x+15＞0且3x²-（p+1）x≥0对一切x∈R恒成立．
则只需△₁=（p-9）²-4×12×15＜0且△₂=（p+1）²≤0．
则p+1=0，即p=-1．
即有p=-1时，原不等式恒成立．

点评 本题充分注意到分母大于零恒成立，从而将问题转化为一元二次不等式的恒成立问题是解题的关键．