题目内容

【题目】在半径为R的圆桌上摆放同样大小的半径为r的硬币.要求硬币不准露出圆桌面边缘，并且所摆硬币彼此不能重叠.当摆放n枚硬币之后，圆桌上就不能再多摆放一枚这种硬币了.求证：.

【答案】见解析

【解析】

由于n枚半径为r的硬币无重叠地摆放在半径为R的圆桌面内，所以n个半径为r的硬币覆盖的总面积小于半径为R的圆面积，即有.所以.

现设想把n枚硬币的半径扩大一倍成为半径为2r的“加层硬币”.则这n枚“加层硬币”必完全覆盖住半径为（R - r）的圆面.如若不然的话，设在R - r为的圆面上至少有一点P没被这n个半径为2r的“加层硬币”盖住，则P点到诸半径为r的硬币之间的距离均大于r.所以以P为中心r为半径的圆面可以与前面所放的n枚硬币无重叠地放入半径为R的圆桌面内.这与题设条件矛盾.

所以有.化简可得.综合可得.

练习册系列答案
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附：K2=

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879


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（2）估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4个小时的概率．
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