题目内容
【题目】已知数列满足, ,其中.
(1)设,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.
【解析】试题分析:(1)利用递推公式即可得出为一个常数,从而证明数列是等差数,再利用等差数列的通项公式即可得到,进而得到;(2)利用(1)的结论,利用“裂项求和”即可得到,要使得对于恒成立,只要,即,解出即可.
试题解析:(1)证明: ,
所以数列是等差数列,
,因此,
由.
(2)由,
所以,
所以,
因为,所以恒成立,
依题意要使对于,恒成立,只需,且 解得, 的最小值为.
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;②
;③;
④ ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
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