题目内容
【题目】设,曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求的值;
(2)若对于任意的,
恒成立,求
的取值范围;
(3)求证: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)详见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导数,再根据导数几何意义列方程,解方程可得的值;(Ⅱ)不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题,本题去分母转化为差函数:
,因为
,所以
最大值不小于
,根据
导函数符号可得
才满足条件.(Ⅲ)不等式证明中涉及求和问题,一般方法为适当放缩,再利用裂项相消法给予证明.本题由(Ⅱ)知,当
时,
时,
成立,所以放缩这一难点已暗示,下面只需令
得
,即
,最后叠加可得证.
试题解析:(Ⅰ)
由题设,∴
.
(Ⅱ),
,
,即
设,即
.
①若,
,这与题设
矛盾
②若当
,
单调递增,
,与题设矛盾.
③若当
,
单调递减,
,即不等式成立
综上所述, .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
时,
成立.
不妨令所以
,
…………
累加可得
∴
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练习册系列答案
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【题目】为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表:记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
分数 | |||||
甲班频数 | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
一般频数 | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |
(1)由以下统计数据填写下面列联表,并判断能否在犯错误的额概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优良 | |||
成绩不优良 | |||
总计 |
附:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
(2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为,求
的分布列及数学期望.